SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA – SERWAY
SOLUCIÓN PROBLEMA 58 CAPÍTULO 1 FÍSICA SERWAY
58. En la siguiente tabla la información representa observaciones de las masas y dimensiones de cilindros sólidos de aluminio, cobre, latón, estaño y hierro. Use tales datos para calcular las densidades de dichas sustancias. Establezca cómo sus resultados para aluminio, cobre y hierro se comparan con los conocidos en la tabla 14.1.
| Sustancia | Masa (g) | Diámetro (cm) | Longitud (cm) |
| Aluminio | 51.5 | 2.52 | 3.75 |
| Cobre | 56.3 | 1.23 | 5.06 |
| Latón | 94.4 | 1.54 | 5.69 |
| Estaño | 69.1 | 1.75 | 3.74 |
| Hierro | 216.1 | 1.89 | 9.77 |
Solución:
Paso 1/11:
La densidad de una sustancia se define como la relación entre la masa y el volumen , y está dada por la ecuación:
ρ=mV\rho = \frac{m}{V}
Como el volumen de un cilindro es
V=πr2lV = \pi r^2 l, donde es el radio y es la longitud del cilindro, la densidad también se puede expresar como:
ρ=mπr2l=mπ(d2)2l=4mπd2l\rho = \frac{m}{\pi r^2 l} = \frac{m}{\pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 l} = \frac{4m}{\pi d^2 l}
Aquí, es el diámetro.
El error porcentual se da por:
error porcentual=(valor calculado−valor verdaderovalor verdadero)×100\text{error porcentual} = \left( \frac{\text{valor calculado} – \text{valor verdadero}}{\text{valor verdadero}} \right) \times 100
O, usando símbolos para la densidad:
error porcentual=(ρ−ρ′ρ′)×100\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100
Donde es el valor calculado y es el valor verdadero.
Paso 2/11:
(a) La densidad del aluminio es:
ρ=4mπd2l\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}
Sustituyendo 51.5 g para
m, 2.52 cm para
d, y 3.75 cm para :
ρ=4(51.5 g)π(2.52 cm)2(3.75 cm)=2.75 g/cm3\rho = \frac{4(51.5 \, \text{g})}{\pi (2.52 \, \text{cm})^2 (3.75 \, \text{cm})} = 2.75 \, \text{g/cm}^3
Por lo tanto, la densidad del aluminio es 2.75 g/cm³.
Paso 3/11:
La densidad del cobre es:
ρ=4mπd2l\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}
Sustituyendo 56.3 g para
m, 1.23 cm para , y 5.06 cm para :
ρ=4(56.3 g)π(1.23 cm)2(5.06 cm)=9.36 g/cm3
Por lo tanto, la densidad del cobre es 9.36 g/cm³.
Paso 4/11:
La densidad del latón es:
ρ=4mπd2l\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}
Sustituyendo 94.4 g para , 1.54 cm para , y 5.69 cm para :
ρ=4(94.4 g)π(1.54 cm)2(5.69 cm)=8.906 g/cm3\rho = \frac{4(94.4 \, \text{g})}{\pi (1.54 \, \text{cm})^2 (5.69 \, \text{cm})} = 8.906 \, \text{g/cm}^3
Por lo tanto, la densidad del latón es 8.91 g/cm³.
Paso 5/11:
La densidad del estaño es:
ρ=4mπd2l\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}
Sustituyendo 69.1 g para , 1.75 cm para , y 3.74 cm para
l:
ρ=4(69.1 g)π(1.75 cm)2(3.74 cm)=7.68 g/cm3\rho = \frac{4(69.1 \, \text{g})}{\pi (1.75 \, \text{cm})^2 (3.74 \, \text{cm})} = 7.68 \, \text{g/cm}^3
Por lo tanto, la densidad del estaño es 7.68 g/cm³.
Paso 6/11:
La densidad del hierro es:
ρ=4mπd2l\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}
Sustituyendo 216.1 g para
m, 1.89 cm para , y 9.77 cm para
l:
ρ=4(216.1 g)π(1.89 cm)2(9.77 cm)=7.88 g/cm3\rho = \frac{4(216.1 \, \text{g})}{\pi (1.89 \, \text{cm})^2 (9.77 \, \text{cm})} = 7.88 \, \text{g/cm}^3
Por lo tanto, la densidad del hierro es 7.88 g/cm³.
Paso 7/11:
Por lo tanto, la densidad del hierro es 7.88 g/cm³.
(b)
El error porcentual se da por:
error porcentual=(ρ−ρ′ρ′)×100%\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%
Sustituimos 2.75 g/cm³ para y 2.70 g/cm³ para :
error porcentual=(2.75 g/cm3−2.70 g/cm32.70 g/cm3)×100%=1.98%\text{error porcentual} = \left( \frac{2.75 \, \text{g/cm}^3 – 2.70 \, \text{g/cm}^3}{2.70 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 1.98\%
Por lo tanto, redondeando a una cifra significativa, el valor tabulado de la densidad del aluminio es menor que el valor calculado en un 2%.
Paso 8/11:
El error porcentual se da por:
error porcentual=(ρ−ρ′ρ′)×100%\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%
Sustituyendo 9.36 g/cm³ para
\rhoy 8.92 g/cm³ para
\rho’:
error porcentual=(9.36 g/cm3−8.92 g/cm38.92 g/cm3)×100%=4.97%\text{error porcentual} = \left( \frac{9.36 \, \text{g/cm}^3 – 8.92 \, \text{g/cm}^3}{8.92 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 4.97\%
Por lo tanto, redondeando a una cifra significativa, el valor tabulado de la densidad del cobre es menor que el valor calculado en un 5%.
Paso 9/11:
El error porcentual se da por:
error porcentual=(ρ−ρ′ρ′)×100%\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%
Sustituyendo 8.906 g/cm³ para
\rhoy 8.4 g/cm³ para :
error porcentual=(8.906 g/cm3−8.4 g/cm38.4 g/cm3)×100%=6.0%\text{error porcentual} = \left( \frac{8.906 \, \text{g/cm}^3 – 8.4 \, \text{g/cm}^3}{8.4 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 6.0\%
Por lo tanto, el valor tabulado de la densidad del latón es menor que el valor calculado en un 6%.
Paso 10/11:
El error porcentual se da por:
error porcentual=(ρ−ρ′ρ′)×100%\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%
Sustituyendo 7.68 g/cm³ para
\rhoy 7.30 g/cm³ para :
error porcentual=(7.68 g/cm3−7.30 g/cm37.30 g/cm3)×100%=5.2%\text{error porcentual} = \left( \frac{7.68 \, \text{g/cm}^3 – 7.30 \, \text{g/cm}^3}{7.30 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 5.2\%
Por lo tanto, redondeando a una cifra significativa, el valor tabulado de la densidad del estaño es menor que el valor calculado en un 5%.
Paso 11/11:
El error porcentual se da por:
error porcentual=(ρ−ρ′ρ′)×100%\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%
Sustituyendo 7.88 g/cm³ para y 7.86 g/cm³ para :
error porcentual=(7.88 g/cm3−7.86 g/cm37.86 g/cm3)×100%=0.3%\text{error porcentual} = \left( \frac{7.88 \, \text{g/cm}^3 – 7.86 \, \text{g/cm}^3}{7.86 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 0.3\%
Por lo tanto, el valor tabulado de la densidad del hierro es menor que el valor calculado en un 0.3%.
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