Problema 58 Capítulo 1 Física Serway. 7 edición

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SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA  – SERWAY

SOLUCIÓN PROBLEMA 58 CAPÍTULO 1 FÍSICA SERWAY

58. En la siguiente tabla la información representa observaciones de las masas y dimensiones de cilindros sólidos de aluminio, cobre, latón, estaño y hierro. Use tales datos para calcular las densidades de dichas sustancias. Establezca cómo sus resultados para aluminio, cobre y hierro se comparan con los conocidos en la tabla 14.1.

Sustancia	Masa (g)	Diámetro (cm)	Longitud (cm)
Aluminio	51.5	2.52	3.75
Cobre	56.3	1.23	5.06
Latón	94.4	1.54	5.69
Estaño	69.1	1.75	3.74
Hierro	216.1	1.89	9.77

Solución:

Paso 1/11:

La densidad de una sustancia se define como la relación entre la masa $m$ y el volumen $V$, y está dada por la ecuación:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

​

Como el volumen de un cilindro es

$V = \pi r^2 l$

, donde $r$ es el radio y $l$ es la longitud del cilindro, la densidad también se puede expresar como:

$$\rho = \frac{m}{\pi r^2 l} = \frac{m}{\pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 l} = \frac{4m}{\pi d^2 l}$$

​

Aquí, $d$ es el diámetro.

El error porcentual se da por:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\text{valor calculado} – \text{valor verdadero}}{\text{valor verdadero}} \right) \times 100$$

O, usando símbolos para la densidad:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100$$

Donde $\rho$ es el valor calculado y ρ′ es el valor verdadero.

Paso 2/11:

(a) La densidad del aluminio es:

$$\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}$$

​

Sustituyendo 51.5 g para

$m$

m, 2.52 cm para

$d$

d, y 3.75 cm para $l$:

$$\rho = \frac{4(51.5 \, \text{g})}{\pi (2.52 \, \text{cm})^2 (3.75 \, \text{cm})} = 2.75 \, \text{g/cm}^3$$

Por lo tanto, la densidad del aluminio es 2.75 g/cm³.

---

Paso 3/11:

La densidad del cobre es:

$$\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}$$

​

Sustituyendo 56.3 g para

$m$

m, 1.23 cm para $d$, y 5.06 cm para $l$:

$$\rho =\frac{4(56.3\text{g})}{\pi (1.23\text{cm}{)}^2(5.06\text{cm})}=9.36{\text{g/cm}}^3$$

Por lo tanto, la densidad del cobre es 9.36 g/cm³.

Paso 4/11:

La densidad del latón es:

$$\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}$$

​

Sustituyendo 94.4 g para $m$, 1.54 cm para $d$, y 5.69 cm para $l$:

$$\rho = \frac{4(94.4 \, \text{g})}{\pi (1.54 \, \text{cm})^2 (5.69 \, \text{cm})} = 8.906 \, \text{g/cm}^3$$

Por lo tanto, la densidad del latón es 8.91 g/cm³.

---

Paso 5/11:

La densidad del estaño es:

$$\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}$$

​

Sustituyendo 69.1 g para $m$, 1.75 cm para $d$, y 3.74 cm para

$l$

l:

$$\rho = \frac{4(69.1 \, \text{g})}{\pi (1.75 \, \text{cm})^2 (3.74 \, \text{cm})} = 7.68 \, \text{g/cm}^3$$

Por lo tanto, la densidad del estaño es 7.68 g/cm³.

Paso 6/11:

La densidad del hierro es:

$$\rho = \frac{4m}{\pi d^2 l}$$

​

Sustituyendo 216.1 g para

$m$

m, 1.89 cm para $d$, y 9.77 cm para

$l$

l:

$$\rho = \frac{4(216.1 \, \text{g})}{\pi (1.89 \, \text{cm})^2 (9.77 \, \text{cm})} = 7.88 \, \text{g/cm}^3$$

Por lo tanto, la densidad del hierro es 7.88 g/cm³.

---

Paso 7/11:

Por lo tanto, la densidad del hierro es 7.88 g/cm³.

(b)

El error porcentual se da por:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%$$

Sustituimos 2.75 g/cm³ para $\rho$ y 2.70 g/cm³ para ρ′:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{2.75 \, \text{g/cm}^3 – 2.70 \, \text{g/cm}^3}{2.70 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 1.98\%$$

Por lo tanto, redondeando a una cifra significativa, el valor tabulado de la densidad del aluminio es menor que el valor calculado en un 2%.

Paso 8/11:

El error porcentual se da por:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%$$

Sustituyendo 9.36 g/cm³ para

$\rho$

ρ y 8.92 g/cm³ para

$\rho’$

ρ′:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{9.36 \, \text{g/cm}^3 – 8.92 \, \text{g/cm}^3}{8.92 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 4.97\%$$

Por lo tanto, redondeando a una cifra significativa, el valor tabulado de la densidad del cobre es menor que el valor calculado en un 5%.

---

Paso 9/11:

El error porcentual se da por:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%$$

Sustituyendo 8.906 g/cm³ para

$\rho$

ρ y 8.4 g/cm³ para ρ′:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{8.906 \, \text{g/cm}^3 – 8.4 \, \text{g/cm}^3}{8.4 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 6.0\%$$

Por lo tanto, el valor tabulado de la densidad del latón es menor que el valor calculado en un 6%.

Paso 10/11:

El error porcentual se da por:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%$$

Sustituyendo 7.68 g/cm³ para

$\rho$

ρ y 7.30 g/cm³ para ρ′:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{7.68 \, \text{g/cm}^3 – 7.30 \, \text{g/cm}^3}{7.30 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 5.2\%$$

Por lo tanto, redondeando a una cifra significativa, el valor tabulado de la densidad del estaño es menor que el valor calculado en un 5%.

---

Paso 11/11:

El error porcentual se da por:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{\rho – \rho’}{\rho’} \right) \times 100\%$$

Sustituyendo 7.88 g/cm³ para $\rho$ y 7.86 g/cm³ para ρ′:

$$\text{error porcentual} = \left( \frac{7.88 \, \text{g/cm}^3 – 7.86 \, \text{g/cm}^3}{7.86 \, \text{g/cm}^3} \right) \times 100\% = 0.3\%$$

Por lo tanto, el valor tabulado de la densidad del hierro es menor que el valor calculado en un 0.3%.

 

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