Problema 48 Capítulo 1 Física Serway. 7 edición

Fredy b

hace 7 años

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SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA – SERWAY

SOLUCIÓN PROBLEMA 48 CAPÍTULO 1 FÍSICA SERWAY

48. Una barra que se extiende entre x = 0 y x = 14.0 cm tiene área de sección transversal uniforme A = 9.00 cm² . Se fabrica de una aleación de metales que cambia continuamente de modo que, a lo largo de su longitud, su densidad cambia de manera uniforme de 2.70 g/cm³ a 19.3 g/cm³ . a) Identifique las constantes B y C requeridas en la expresión ρ = B + Cx para describir la densidad variable. b) La masa de la barra se conoce mediante

Realice la integración para encontrar la masa de la barra.

Solución:

Paso 1/3

SOLUCIÓN:

Una varilla que se extiende entre

x=0 cmx = 0 \, cm

$x = 0 c m$ y

x=14.0 cmx = 14.0 \, cm

$x = 14.0 c m$ . Área de la sección transversal

A=9.0 cm2A = 9.0 \, cm^2

$A = 9.0 c m^{2}$ . En

x=0 cmx = 0 \, cm

$x = 0 c m$ , su densidad es

ρ1=2.70 g/cm3\rho_1 = 2.70 \, g/cm^3

$ρ_{1} = 2.70 g / c m^{3}$ y en

x=14.0 cmx = 14.0 \, cm

$x = 14.0 c m$ , su densidad es

ρ2=19.3 g/cm3\rho_2 = 19.3 \, g/cm^3

$ρ_{2} = 19.3 g / c m^{3}$ .

Paso 2/3

(a) Dado que la densidad de la varilla cambia según la ecuación:

ρ=B+Cx\rho = B + Cx

x = 0

$x = 0$ :

ρ1=B+C(0)=B\rho_1 = B + C(0) = B

Por lo tanto, el valor de la constante $B$ es:

B=2.70 g/cm3B = 2.70 \, g/cm^3

En $x = 14.0 c m$ :

ρ2=B+Cx\rho_2 = B + Cx

19.3 g/cm3=(2.70 g/cm3)+C(14.0 cm)19.3 \, g/cm^3 = (2.70 \, g/cm^3) + C(14.0 \, cm)

(14.0 cm)C=19.3 g/cm3−2.70 g/cm3(14.0 \, cm) C = 19.3 \, g/cm^3 – 2.70 \, g/cm^3

(14.0 cm)C=16.6 g/cm3(14.0 \, cm) C = 16.6 \, g/cm^3

Por lo tanto, la constante $C$ es:

C=16.6 g/cm314.0 cm=1.1857 g/cm4C = \frac{16.6 \, g/cm^3}{14.0 \, cm} = 1.1857 \, g/cm^4

Paso 3/3

(b) Dado que la masa de la varilla es:

m=∫todo el materialρdV=∫todo xρAdVm = \int_{\text{todo el material}} \rho dV = \int_{\text{todo } x} \rho A dV

m=∫014cm(B+Cx)(9.0cm2)dxm = \int_{0}^{14cm} (B + Cx)(9.0cm^2) dx

Al integrar esta ecuación:

m=∫014cm(B+Cx)(9.0cm2)dxm = \int_{0}^{14cm} (B + Cx)(9.0cm^2) dx

=(9.0cm2)[Bx]014cm+[C2x2]014cm= (9.0cm^2) \left[ Bx \right]_{0}^{14cm} + \left[ \frac{C}{2} x^2 \right]_{0}^{14cm}

=126B+882C= 126B + 882C

Sustituyendo los valores de $B$ y $C$ obtenidos en la parte (a):

m=126(2.7 g/cm3)+(882)(1.1857 g/cm4)m = 126(2.7 \, g/cm^3) + (882)(1.1857 \, g/cm^4)

m=1385.99 gm = \boxed{1385.99 \, g}

CONSULTA AQUÍ OTROS EJERCICIOS RESUELTOS DEL LIBRO FÍSICA SERWAY VOLUMEN 1.

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