Problema 48 Capítulo 1 Física Serway. 7 edición

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SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA  – SERWAY

SOLUCIÓN PROBLEMA 48 CAPÍTULO 1 FÍSICA SERWAY

48. Una barra que se extiende entre x = 0 y x = 14.0 cm tiene área de sección transversal uniforme A = 9.00 cm² . Se fabrica de una aleación de metales que cambia continuamente de modo que, a lo largo de su longitud, su densidad cambia de manera uniforme de 2.70 g/cm³ a 19.3 g/cm³ . a) Identifique las constantes B y C requeridas en la expresión ρ = B + Cx para describir la densidad variable. b) La masa de la barra se conoce mediante

Realice la integración para encontrar la masa de la barra.

Solución:

Paso 1/3

SOLUCIÓN:

Una varilla que se extiende entre

$x = 0 \, cm$

x=0cm y

$x = 14.0 \, cm$

x=14.0cm. Área de la sección transversal

$A = 9.0 \, cm^2$

A=9.0cm2. En

$x = 0 \, cm$

x=0cm, su densidad es

$\rho_1 = 2.70 \, g/cm^3$

ρ1​=2.70g/cm3 y en

$x = 14.0 \, cm$

x=14.0cm, su densidad es

$\rho_2 = 19.3 \, g/cm^3$

ρ2​=19.3g/cm3.

---

Paso 2/3

(a) Dado que la densidad de la varilla cambia según la ecuación:

$$\rho = B + Cx$$

En

$x = 0$

x=0:

$$\rho_1 = B + C(0) = B$$

Por lo tanto, el valor de la constante $B$ es:

$$B = 2.70 \, g/cm^3$$

En $x=14.0cm$:

$$\rho_2 = B + Cx$$

$$19.3 \, g/cm^3 = (2.70 \, g/cm^3) + C(14.0 \, cm)$$

$$(14.0 \, cm) C = 19.3 \, g/cm^3 – 2.70 \, g/cm^3$$

$$(14.0 \, cm) C = 16.6 \, g/cm^3$$

Por lo tanto, la constante $C$ es:

$$C = \frac{16.6 \, g/cm^3}{14.0 \, cm} = 1.1857 \, g/cm^4$$

Paso 3/3

(b) Dado que la masa de la varilla es:

$$m = \int_{\text{todo el material}} \rho dV = \int_{\text{todo } x} \rho A dV$$

$$m = \int_{0}^{14cm} (B + Cx)(9.0cm^2) dx$$

Al integrar esta ecuación:

$$m = \int_{0}^{14cm} (B + Cx)(9.0cm^2) dx$$

$$= (9.0cm^2) \left[ Bx \right]_{0}^{14cm} + \left[ \frac{C}{2} x^2 \right]_{0}^{14cm}$$

​

$$= 126B + 882C$$

Sustituyendo los valores de $B$ y $C$ obtenidos en la parte (a):

$$m = 126(2.7 \, g/cm^3) + (882)(1.1857 \, g/cm^4)$$

$$m = \boxed{1385.99 \, g}$$

​

 

 

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