Problema 47 Capítulo 1 Física Serway. 7 edición

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SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA  – SERWAY

SOLUCIÓN PROBLEMA 47 CAPÍTULO 1 FÍSICA SERWAY

47. Un cascarón esférico tiene un radio externo de 2.60 cm y uno interno de a. La pared del cascarón tiene grosor uniforme y está hecho de un material con densidad de 4.70 g/cm³. El espacio interior del cascarón está lleno con un líquido que tiene una densidad de 1.23 g/cm³ . a) Encuentre la masa m de la esfera, incluidos sus contenidos, como función de a. b) En la respuesta a la parte a), si a se considera variable, ¿para qué valor de a tiene m su máximo valor posible? c) ¿Cuál es esta masa máxima? d) ¿El valor de la parte b) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de una esfera de densidad uniforme? e) ¿Para qué valor de a la respuesta al inciso a) tiene su valor mínimo posible? f) ¿Cuál es esta masa mínima? g) ¿El valor del inciso f) concuerda con el resultado de un cálculo directo de la masa de una esfera uniforme? h) ¿Qué valor de m está a la mitad entre los valores máximo y mínimo posibles? i) ¿Esta masa concuerda con el resultado del inciso a) evaluada para a = 2.60 cm/2 1.30 cm? j) Explique si debe esperar concordancia en cada uno de los incisos d), g) e i). k) ¿Qué pasaría si? En el inciso a), ¿la respuesta cambiaría si la pared interior del cascarón no fuese concéntrica con la pared exterior?

Solución:

Paso 1/11

a) El radio externo de la esfera es

$r_i = 2.60 \, cm$

ri​=2.60cm.
El radio interno de la esfera es

$a$

a.

Se asume que la capa de la esfera tiene un grosor uniforme y está hecha de un material con densidad

$4.70 \, g/cm^3$

4.70g/cm3.
El espacio dentro de la esfera está lleno con un líquido de densidad 1.23g/cm3.

La masa total de la esfera es:

$$m = \frac{4}{3} \pi (r_i^3 – a^3)(4.70 \, g/cm^3) + \left( \frac{4}{3} \pi a^3 \right) (1.23 \, g/cm^3)$$

Simplificando la ecuación:

$$m = \frac{4}{3} \pi (2.60^3)(4.70 \, g/cm^3) + \frac{4}{3} \pi a^3 (-4.70 + 1.23) \, g/cm^3$$

$$m = \frac{4}{3} \pi (2.60^3)(4.70 \, g/cm^3) + \frac{4}{3} \pi a^3 (3.47 \, g/cm^3)$$

Finalmente obtenemos:

$$m = (346 \, g) – (14.5 \, g/cm^3) a^3$$

Esta es la Ecuación (1).

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Paso 2/11

b) Para que la masa

$m$

m sea máxima, el valor de

$a$

a debe ser igual a cero.

---

Paso 3/11

c) Al sustituir

$a = 0$

a=0 en la ecuación (1), obtenemos que:

$$m_{\text{máx}} = 346 \, g$$

Paso 4/11

d) Sí, el resultado de la parte ‘b’ concuerda con el resultado de la cálcula directa de la masa de una esfera de densidad uniforme.

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Paso 5/11

e) Para que $m$ sea mínima, la esfera debe estar completamente hueca, entonces

$a = 2.60 \, cm$

a=2.60cm.

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Paso 6/11

f) La masa mínima es:

$$m_{\text{mín}} = (346 \, g) – (14.5 \, g/cm^3)(2.6^3 \, cm^3)$$

$$m_{\text{mín}} = 90.6 \, g$$

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Paso 7/11

g) Sí, el valor de la parte (f) concuerda con el resultado de la cálcula directa de la masa de una esfera uniforme.

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Paso 8/11

h) El valor a mitad de camino entre el valor máximo y mínimo de

$m$

m es:

$$m_{\text{medio}} = \frac{m_{\text{mín}} + m_{\text{máx}}}{2}$$

​​

$$m_{\text{medio}} = \frac{90.6 \, g + 346 \, g}{2}$$

$$m_{\text{medio}} = 218.3 \, g$$

Paso 9/11

i) Ahora, si 

$a = 1.30 \, cm$

a=1.30cm, entonces:

$$m = 346 \, g – (14.5 \, g/cm^3)(1.30^3 \, cm^3)$$

$$m = 314 \, g$$

---

Paso 10/11

j) Las partes b, c y d describen una esfera sólida uniforme con densidad ρ=4.7g/cm3 a medida que $a$ se aproxima a cero.

Las partes e, f y g describen un líquido uniforme con

$\rho = 1.23 \, g/cm^3$

a medida que

$a$

a se aproxima a

$2.60 \, cm$

2.60cm.

La función

$m(a)$

m(a) no es lineal, por lo que a la mitad entre 0 y

$2.60 \, cm$

2.60cm no se obtiene un valor para $m$ que esté a la mitad entre los valores mínimo y máximo. El gráfico de

$m$

m en función de

$a$

a comienza en

$a = 0$

a=0 con una tangente horizontal. Luego se curva hacia abajo de manera más pronunciada a medida que $a$ aumenta. La gota de líquido con radio $1.30cm$ tiene solo una ligera porción del volumen de la esfera, por lo que su presencia reduce la masa ligeramente de $346g$ a $314g$.

---

Paso 11/11

k) La respuesta no cambiaría siempre y cuando la pared de la cáscara no esté rota.

 

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