Problema 31 Capítulo 2 Física Serway. 7 edición

Fredy b

hace 7 años

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SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA – SERWAY

SOLUCIÓN PROBLEMA 31 CAPÍTULO 2 FÍSICA SERWAY

31. Un deslizador en una pista de aire porta una bandera de longitud l a través de una fotopuerta estacionaria, que mide el intervalo de tiempo Δt_d durante el que la bandera bloquea un haz de luz infrarroja que pasa a través de la fotopuerta. La relación v_d = l/Δt_d es la velocidad promedio del deslizador durante esta parte de su movimiento. Suponga que el deslizador se mueve con aceleración constante. a) Argumente a favor o en contra de la idea de que v_d es igual a la velocidad instantánea del deslizador cuando está a la mitad de la fotopuerta en el espacio. b) Argumente a favor o en contra de la idea de que v_d es igual a la velocidad instantánea del deslizador cuando está a la mitad de la fotopuerta en el tiempo.

Solución:

Paso 1/3

Consideremos la velocidad media $v_{d}$ :

vd=lΔtdv_d = \frac{l}{\Delta t_d}

Donde $Δ t_{d}$ es el intervalo de tiempo durante el cual la bandera bloquea un haz de luz infrarroja y $l$ es la longitud de la bandera.

Reorganizando para la longitud de la bandera:

l=vdΔtd(1)l = v_d \Delta t_d \quad \text{(1)}

Sea $v_{i}$ la velocidad inicial y $a$ la aceleración constante. De las relaciones cinemáticas para una partícula bajo aceleración constante:

xf=xi+viΔtd+12a(Δtd)2(2)x_f = x_i + v_i \Delta t_d + \frac{1}{2} a (\Delta t_d)^2 \quad \text{(2)}

Aquí, $x_{i}$ es la distancia inicial, $x_{f}$ es la distancia final recorrida y $a$ es la aceleración.

De las ecuaciones (1) y (2), sustituimos $0$ por $x_{i}$ y $l$ por $x_{f}$ :

l=0+viΔtd+12a(Δtd)2l = 0 + v_i \Delta t_d + \frac{1}{2} a (\Delta t_d)^2

Sustituyendo

vdΔtdv_d \Delta t_d

por $l$ :

vdΔtd=viΔtd+12a(Δtd)2v_d \Delta t_d = v_i \Delta t_d + \frac{1}{2} a (\Delta t_d)^2

Dividiendo ambos lados por $Δ t_{d}$ :

vd=vi+12a(Δtd)(3)v_d = v_i + \frac{1}{2} a (\Delta t_d) \quad \text{(3)}

Paso 2/3

Dado que el planeador se mueve con aceleración constante, la velocidad media $v_{d}$ cambiará a la misma tasa a lo largo del movimiento porque, en este caso, la aceleración media en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea dentro del intervalo.

Considera la velocidad a mitad del recorrido a través de la compuerta de foto en el espacio.

v1/22=vi2+2axv_{1/2}^2 = v_i^2 + 2ax

Aquí, $v_{1/2}$ es la velocidad en la compuerta de foto en el espacio.

Sustituyendo

l2\frac{l}{2}

por $x$ :

v1/22=vi2+2a(l2)v_{1/2}^2 = v_i^2 + 2a\left(\frac{l}{2}\right)

$v_{1/2 2} = v_{i 2} + 2 a (2 l)$

v1/22=vi2+alv_{1/2}^2 = v_i^2 + al

$v_{1/2 2} = v_{i 2} + a l$ Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación anterior:

v1/22=vi2+aviΔtdv_{1/2}^2 = v_i^2 + av_i\Delta t_d

$v_{1/2 2} = v_{i 2} + a v_{i} Δ t_{d}$

v1/2=vi2+aviΔtdv_{1/2} = \sqrt{v_i^2 + av_i\Delta t_d}

Sustituyendo $a = 0$ :

v1/2=viv_{1/2} = v_i

En este caso, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media solo cuando la aceleración $a = 0$ .

Paso 2/3

a) Dado que el planeador se mueve con aceleración constante, la velocidad media $v_{d}$ cambiará a la misma tasa a lo largo del movimiento porque, en este caso, la aceleración media en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea dentro del intervalo.

Considera la velocidad a mitad del recorrido a través de la compuerta de foto en el espacio.

v1/22=vi2+2axv_{1/2}^2 = v_i^2 + 2ax

Aquí, $v_{1/2}$ es la velocidad en la compuerta de foto en el espacio.

Sustituyendo

l2\frac{l}{2}

por $x$ :

v1/22=vi2+2a(l2)v_{1/2}^2 = v_i^2 + 2a\left(\frac{l}{2}\right)

v1/22=vi2+alv_{1/2}^2 = v_i^2 + al

Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación anterior:

v1/22=vi2+aviΔtdv_{1/2}^2 = v_i^2 + av_i\Delta t_d

v1/2=vi2+aviΔtdv_{1/2} = \sqrt{v_i^2 + av_i\Delta t_d}

Sustituyendo $a = 0$ :

v1/2=viv_{1/2} = v_i

En este caso, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media solo cuando la aceleración $a = 0$ .

Paso 3/3

Considera la velocidad a mitad del recorrido

v1/2v_{1/2}

a través de la compuerta de foto en el tiempo.

v1/2=vi+atv_{1/2} = v_i + at

Sustituyendo

Δtd2\frac{\Delta t_d}{2}

por $t$ :

v1/2=vi+a(Δtd2)v_{1/2} = v_i + a\left(\frac{\Delta t_d}{2}\right)

La ecuación anterior es comparable con la ecuación (3); por lo tanto, en este caso, la velocidad instantánea es exactamente igual a la velocidad media $v_{d}$ .

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FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA – SERWAY

SOLUCIÓN PROBLEMA 31 CAPÍTULO 2 FÍSICA SERWAY

Paso 1/3

Paso 2/3

Paso 2/3

Paso 3/3

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