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CURSO DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

En esta sección discutimos sobre lo que pasa en un continuo debido a la acción de un conjunto de fuerzas sobre el mismo. Esta discusión conduce  a conocer el principio de esfuerzos de Cauchy y a definir el vector tracción o también denominado vector de esfuerzos y el estado de esfuerzos en un punto de continuo.

Vector tracción o vector esfuerzo

Considerando la existencia de fuerzas actuantes en el interior de un cuerpo, sea P un punto en la posición X^P ocupado por una partícula y S una superficie definida por un vector unitario normal a ella n, la cual contiene a P, como lo ilustra la Figura 1.

Figura 1. Partícula en el interior de un sólido y contenida en una superficie normal n. Fuente:Linero, Dorian.

El vector tracción o también denominado vector de esfuerzos                                    t⁽ⁿ⁾ =  t⁽ⁿ⁾ (X^(p) , n) = t_i ⁽ⁿ⁾ e_i  en el punto P sobre la superficie de normal n (Figura 2), se define como el límite de la fuerza δp transmitida en un diferencial de área δS cuando tal área tiende a cero, es decir,

Por lo tanto las componentes del vector tracción se expresan en unidades de fuerza divididas en unidades de área.

Observación. Es importante recordar que el vector tracción  t⁽ⁿ⁾ depende de la posición del punto de aplicación P y de la dirección de la superficie n. Por otro lado, en general  t⁽ⁿ⁾ no coincide con la dirección n, dado que la fuerza transmitida a través de una superficie no necesariamente actúa en la dirección normal a la superficie.

POSTULADOS DE CAUCHY

Consideremos un medio continuo sobre el que actúan las correspondientes fuerzas másicas y superficiales. Consideremos también una partícula P del interior del medio continuo y una superficie arbitraria, que pasa por el punto P y de normal unitaria n en dicho punto, que divide al medio continuo en dos partes (volúmenes materiales). En la superficie de corte, considerada ahora como parte del contorno de cada uno de estos volúmenes materiales, actuarán las fuerzas superficiales debidas al contacto entre ambos.

Sea t⁽ⁿ⁾  el vector de tracción que actúa un plano de normal n sobre el punto material  P considerado como parte del contorno del primero de estos volúmenes materiales. En principio este vector de tracción (definido ahora en un punto material del interior del medio continuo original) dependerá:

1) De cuál sea la partícula considerada,
2) de la orientación de la superficie (definida a través de la normal n) y
3) de cuál sea la propia superficie de corte.

Los siguientes postulado de Cauchy o también conocidos como postulados de Cauchy-Euler lo hace independiente de esta última condición:

• El primer postulado de Cauchy indica que el vector tracción t⁽ⁿ⁾ depende únicamente de la ubicación del punto material X^P y del vector unitario normal al plano donde actúa n, es decir t⁽ⁿ⁾ =  t⁽ⁿ⁾ (X^P, n).
• El segundo postulado de Cauchy establece que para un mismo punto material P, el vector tracción actuando en el plano de normal n es igual y de sentido contrario al vector tracción actuando en el plano de normal –n, por lo tanto t⁽ⁿ⁾ (X^P, n) = – t^(-n) (X^P, –n).

Figura 2. Vector tracción en un punto P actuando sobre una superficie de normal n.

VIDEO COMPLEMENTARIO

Para entender mejor o complementar los conceptos escritos, se recomienda ver el siguiente video, dictado por el profesor Juan F. Salazar de la Universidad de Antioquia en la materia Mecánica de medios continuos. Allí se explican detalladamente los conceptos de vector tracción o vector esfuerzo y los postulados de Cauchy. Adicionalmente se hace acercamiento al concepto de estado de esfuerzo desde el punto de vista teórico.

TAREA

Deducir que t⁽ⁿ⁾ (X^P, n) = – t^(-n) (X^P, –n) a partir de la segunda ley de Newton. Consultar sección 3.2 del libro de Mase, 1999.

CONSULTA AQUÍ LAS OTRAS SECCIONES DEL CURSO MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

BIBLIOGRAFÍA

• LINERO, D & GARZÓN, D. Elementos de la mecánica del continuo para cuerpos sólidos. Volumen 1: Temas básicos. Universidad Nacional de Colombia. 2010.
• LINERO, D & GARZÓN, D. Apuntes de mecánica de sólidos
• MASE, G.T. & MASE, G.E., Continuum mechanics for engineers, CRC, 1999.
• Universidad de Antioquia, UDEA; Salazar Villegas, Juan Fernando. Curso de mecánica de medios continuos, clase 7. En línea: Canal de youtube «Ingenia UdeA»

OTROS

• ORTIZ, B., Elasticidad, Mc Graw Hill, 2005.
• OLIVELLA, X.O. and Saracibar, C.A. and Vieira, E. and Car, E. (2002). Mecánica de medios continuos para ingenieros. Alfaomega.
• NARANJO, J.A. (1992). Introducción a la mecánica de los medios continuos. Universidad Nacional de Colombia sede Medellín.
• FUNG, Y.C.(1994). A first course in continuum mechanics, third edition. Prentice Hall.
• LAI. W.M. and RUBIN, D and KREMPL, E. (1993). Introduction to continuum mechanics, third edition. Butterworth-Heinemann, Elsevier.
• LAI. W.M. and RUBIN, D and KREMPL, E. (2010). Introduction to continuum mechanics, fourth edition. Butterworth-Heinemann, Elsevier.

 

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