SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA – SERWAY
SOLUCIÓN PROBLEMA 50 CAPÍTULO 1 FÍSICA SERWAY
50. Se sopla aire hacia dentro de un globo esférico de modo que, cuando su radio es de 6.50 cm, éste aumenta en una proporción de 0.900 cm/s. a) Encuentre la rapidez a la que aumenta el volumen del globo. b) Si dicha relación de flujo volumétrico de aire que entra al globo es constante, ¿en qué proporción aumentará el radio cuando el radio es de 13.0 cm? c) Explique físicamente por qué la respuesta del inciso b) es
mayor o menor que 0.9 cm/s, si es diferente.
Solución:
Paso 1/3
a) El radio del globo esférico es
r = 6.50 \, \text{cm}.
La tasa de aumento del radio es:
drdt=0.900 cm/s\frac{dr}{dt} = 0.900 \, \text{cm/s}
El volumen del globo esférico es:
V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3
La tasa de cambio del volumen es:
dVdt=43π(3r2)drdt\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt}
dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}
Sustituyendo los valores:
dVdt=4π(6.50 cm)2(0.900 cm/s)\frac{dV}{dt} = 4 \pi (6.50 \, \text{cm})^2 (0.900 \, \text{cm/s})
Paso 2/3
b) Si esta tasa de flujo de volumen es constante:
dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}
Entonces, la tasa de aumento del radio es:
drdt=dVdt4πr2\frac{dr}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{4 \pi r^2}
Ahora,
drdt=477.6 cm3/s4π(13.0 cm)2\frac{dr}{dt} = \frac{477.6 \, \text{cm}^3/\text{s}}{4 \pi (13.0 \, \text{cm})^2}
drdt=0.225 cm/s\frac{dr}{dt} = 0.225 \, \text{cm/s}
Paso 3/3
c) Como la tasa de cambio del radio es inversamente proporcional al cuadrado del radio del globo en ese instante, la tasa de cambio del radio es menor que .
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