Curso de Mecánica del medio continuo.

En esta sesión aprenderemos sobre la forma de representar un sistema cartesiano, y la notación indicial junto con la convención de suma de Einstein, que son claves para el entendimiento del resto del curso.

1. SISTEMAS COORDENADOS

Sistema coordenado cartesiano de referencia

El sistema coordenado es aquel que permite establecer la ubicación de un punto o de otro objeto geométrico en el espacio. El sistema coordenado cartesiano está definido por tres ejes ortogonales entre sí.

Vectores unitarios direccionales o vectores base del sistema coordenado

También recordamos los vectores unitarios o vectores base como el Conjunto de vectores de norma unitaria definidos desde el origen del sistema coordenado y paralelos a cada uno de los semi-ejes positivos coordenados. Representados gráficamente así con la notación xyz tradicional:

plano cartesiano

Sin embargo, también se puede representar de manera análoga por medio de la notación indicial, así:

cartesiano indicial

2. NOTACIÓN INDICIAL

Antes de continuar con el repaso de vectores y matrices, se hace necesario conocer la notación indicial.

Vectores: Las componentes de las cantidades vectoriales se indican con letras en
minúscula cursiva acompañadas de un subíndice, por ejemplo ai, bj, ck

Tensores: las componentes de los tensores se representan mediante letras en mayúscula cursiva acompañadas de varios subíndices de acuerdo con el orden del tensor. Por ejemplo, las componentes de un tensor de segundo orden se pueden expresar como Aij, Bkl, Crs, etc.

Vectores unitarios: Los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x1, x2, x3 de un sistema coordenado cartesiano se denominan vectores base y se expresan como e1, e2, e3 respectivamente.

Escalar: Escalar (Tensor de orden cero) se representa como λ

uivj  : diada (tensor de segundo orden) uv, o sus 9 componentes.

Tij : diadico (tensor de segundo orden) T, o sus 9 componentes.

Qijk : triadico (tensor de tercer orden) Q, o sus 27 componentes.

Cijkm : (tensor de cuarto orden) C, o sus 81 componentes.

CONVENCIÓN DE SUMA DE EINSTEIN

En la mecánica del medio continuo, la notación indicial y la convención de suma de Einstein establecen una forma abreviada de representación de campos y operaciones, vectoriales y tensoriales. Tal notación omite los signos de sumatoria sobre cada índice repetido en una expresión, dejando implícita la suma de los productos entre las componentes del vector o del tensor.

En este curso con frecuencia la notación indicial acompañada de la convención de suma de Einstein, la cual se denominará en adelante simplemente notación indicial.
En general se establecen las siguientes reglas en la sintaxis de la notación indicial para definir los vectores y tensores o para escribir las operaciones entre ellos.

En general se establecen las siguientes reglas en la sintaxis de la notación indicial para definir los vectores y tensores o para escribir las operaciones entre ellos.

  • En un espacio tridimensional se presenta de forma implícita la sumatoria entre 1 y 3 de los términos con subíndices comunes. Sin embargo, en el espacio bidimensional en particular, se puede considerar que las sumatorias sobre subíndices comunes están definidas entre 1 y 2.
  • El producto entre dos cantidades (vectoriales o tensoriales), que tienen un subíndice común, corresponde a la sumatoria de tal producto entre 1 y 3 sobre dicho subíndice. Por ejemplo, dado un vector de componentes bj y un tensor de segundo orden de
    componentes Aij , la notación indicial establece la siguiente equivalencia:

\displaystyle {{A}_{{ij}}}{{b}_{j}}\equiv \sum\limits_{{j=1}}^{3}{{{{A}_{{ij}}}{{b}_{j}}}}

  • Cuando las cantidades tienen dos o más subíndices comunes, se está indicando una sumatoria doble o múltiple de dicho producto sobre cada uno de los subíndices comunes. Por ejemplo, dados dos tensores de segundo orden cuyas componentes son Aij y Bij , la notación indicial establece las siguiente equivalencia:

\displaystyle {{A}_{{ij}}}{{B}_{{ij}}}\equiv \sum\limits_{{i=1}}^{3}{{\sum\limits_{{j=1}}^{3}{{{{A}_{{ij}}}{{B}_{{ij}}}}}}}

  • La derivada de una componente vectorial o tensorial con respecto a otra componente que tienen un subíndice común, corresponde a la sumatoria de tales derivadas entre 1 y 3 sobre dicho subíndice.  Por ejemplo, dado los vectores de componentes ai y xi , la
    notación indicial establece la siguiente equivalencia:

\displaystyle \frac{{\partial {{a}_{i}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}=\sum\limits_{{i=1}}^{3}{{\frac{{\partial {{a}_{i}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}}}

  • Operaciones como la suma y la resta entre las componentes de vectores o tensores con subíndice común, representan un grupo de 3 ecuaciones escalares independientes. Por lo tanto no hay sumatoria entre las componentes de subíndice común. Por ejemplo, dado los vectores de componentes aj y bj , la suma vectorial en notación indicial corresponde a:

\displaystyle {{a}_{j}}+{{b}_{j}}\equiv \left\{ \begin{array}{l}{{a}_{1}}+{{b}_{1}}\\{{a}_{2}}+{{b}_{2}}\\{{a}_{3}}+{{b}_{3}}\end{array} \right.

  • El subíndice que no se repite entre los factores de un producto denominado índice libre, establece un conjunto de 3 ecuaciones independientes. Por ejemplo, dado el tensor de segundo orden cuyos componentes son Aij y los vectores de componentes bjci , en notación indicial se tiene que:

\displaystyle {{c}_{i}}={{A}_{{ij}}}{{b}_{j}}\equiv \left\{ \begin{array}{l}{{c}_{1}}={{A}_{{11}}}{{b}_{1}}+{{A}_{{12}}}{{b}_{2}}+{{A}_{{13}}}{{b}_{3}}\\{{c}_{2}}={{A}_{{21}}}{{b}_{1}}+{{A}_{{22}}}{{b}_{2}}+{{A}_{{23}}}{{b}_{3}}\\{{c}_{3}}={{A}_{{31}}}{{b}_{1}}+{{A}_{{32}}}{{b}_{2}}+{{A}_{{33}}}{{b}_{3}}\end{array} \right.

  • En un producto de tres o más cantidades, cada subíndice común no debe repetirse en más de dos componentes, por ejemplo la operación en notación indicial \displaystyle {{A}_{{ij}}}{{B}_{{jk}}}{{c}_{j}} es incorrecta.

\displaystyle {{A}_{{ij}}}{{B}_{{jk}}}{{c}_{j}}

  • Se recomienda utilizar un subíndice distinto para indicar una sumatoria en otro término, por ejemplo, se sugiere reescribir la operación \displaystyle {{A}_{{ij}}}{{B}_{{jk}}}+{{C}_{{mj}}}{{D}_{{jn}}} de la forma \displaystyle {{A}_{{ij}}}{{B}_{{jk}}}+{{C}_{{ml}}}{{D}_{{ln}}}
  • Como excepción a las reglas anteriores, la sumatoria de las componentes con índices iguales de un tensor de segundo orden se representa en notación indicial de la forma:

\displaystyle {{A}_{{ii}}}=\sum\limits_{{i=1}}^{3}{{{{A}_{{ii}}}={{A}_{{11}}}+{{A}_{{22}}}+{{A}_{{33}}}}}

que corresponde a la traza de una matriz.

Enumeramos, usando notación simbólica, varias definiciones útiles de álgebra vector / tensor.

  1. Adición de vectores:

w = u + v            o             wiei = (ui + vi) ei

2. Multiplicación:

(a) De un vector por un escalar

λv = λviei

(b) producto escalar o producto punto de dos vectores

\displaystyle u\cdot v=v\cdot u=uv\cos \theta

donde θ es donde es el ángulo más pequeño entre los dos vectores cuando se extrae de un origen común.

 

 

 

3. OPERADORES ESPECIALES

DELTA DE KRONECKER

El delta de Kronecker es una función de dos variables enteras positivas cuyo valor es 1 si las variables son iguales y 0 cuando las variables son diferentes. Dicha función se indica como \displaystyle {{\delta }_{{ij}}} y se expresa de la forma:

\displaystyle {{\delta }_{{ij}}}=\left\{ \begin{array}{l}1\text{ ; }i=j\\0\text{ ; }i\ne j\end{array} \right.

Los coeficientes de la matriz identidad se pueden definir mediante la función delta de Kronecker de la forma \displaystyle {{I}_{{ij}}}={{\delta }_{{ij}}}

OPERADOR PERMUTACIÓN

También llamado tensor alternante

Puedes reforzar el concepto y utildad de estos operadores especiales, por medio de el siguiente video:

4. EJEMPLOS

EJEMPLO 1:

Sabemos que un vector a puede expresarse como la suma de los productos de cada componente y el vector base (unitario) del sistema coordenado, es decir,sumatoria vector

siendo a1, a2 , a3, las componentes del vector en dicho sistema coordenado. Por lo tanto el vector se puede escribir en notación indicial y convención de suma de Einstein de la forma:                                  

Que no es más que quitar el símbolo de sumatoria.

EJEMPLO 2:

Sea β  el resultado de la siguiente sumatoria:

sumatoria indicial

La expresión anterior se puede simplificar en virtud de la notación indicial y la convención de suma de Einstein, como:

β = bAij cj

EJEMPLO 3:

Sea Cik una componente de un tensor de segundo orden obtenida de la
sumatoria indicada a continuación.

sumatoria tensor einstein

EJEMPLO 4.

Hacer y revisar

Ejemplo 2.2-1

Ejemplo 2.2-2

Ejemplo 2.2-3

Ejemplo 2.2-4

del libro  Continuum Mechanics for Engineers, Second edition, GT MASE, 1999* para entender y reforzar.

Tarea

Problema 2.1 del libro Continuum Mechanics for Engineers, Second edition, GT MASE, 1999* para entender y reforzar.

BIBLIOGRAFÍA

  • LINERO, D & GARZÓN, D. Elementos de la mecánica del continuo para cuerpos sólidos. Volumen 1: Temas básicos. Universidad Nacional de Colombia. 2010.
  • MASE, G.T. & MASE, G.E., Continuum mechanics for engineers, CRC, 1999.

 

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